【NSS每日一题】[SWPU 2020]happy

题目附件：

('c=', '0x7a7e031f14f6b6c3292d11a41161d2491ce8bcdc67ef1baa9eL')
('e=', '0x872a335')
#q + q*p^3 =1285367317452089980789441829580397855321901891350429414413655782431779727560841427444135440068248152908241981758331600586
#qp + q *p^2 = 1109691832903289208389283296592510864729403914873734836011311325874120780079555500202475594

题目分析：

第一步：提取公因子简化方程

方程 1 提取 q：q*(1 + p³) = A（记大数 A 为方程 1 右侧值）
方程 2 提取 q*p：q*p*(1 + p) = B（记大数 B 为方程 2 右侧值）

**第二步：利用代数公式化简 1+p³**代数公式：1 + p³ = (1 + p)(p² - p + 1)，代入方程 1：q*(1 + p)*(p² - p + 1) = A

第三步：用方程 1 除以方程 2，消去公共项将化简后的方程 1 ÷ 方程 2：[q*(1+p)*(p²-p+1)] / [q*p*(1+p)] = A / B约去 q*(1+p)（q、p 是素数，不为 0），得到：(p² - p + 1) / p = A / B进一步整理：p² - p + 1 = (A/B)*p``p² - p*(1 + A/B) + 1 = 0（或更简单的形式：B*(p² - p + 1) = A*p → B*p² - (A+B)*p + B = 0）

步骤 2：求解一元二次方程得到 p

上述整理后得到关于 p 的一元二次方程：B*p² - (A+B)*p + B = 0根据一元二次方程求根公式 p = [ (A+B) ± √((A+B)² - 4*B*B) ] / (2*B)，计算关键点：

计算判别式 Δ = (A+B)² - 4*B² = (A+B-2B)(A+B+2B) = (A-B)(A+3B)；
计算 Δ 的平方根（因 p 是整数，Δ 必为完全平方数）；
代入求根公式得到 p（取正整数解，且为素数）。

步骤 3：由 p 求 q

得到 p 后，代入方程 2 q*p*(1+p) = B，直接解出 q：q = B / [p*(1+p)]（验证：q 需为素数，且代入方程 1 需成立）

步骤 4：计算私钥 d 并解密

计算欧拉函数 φ(n) = (p-1)*(q-1)（n = p*q）；
求 e 关于 φ(n) 的模逆元 d（即满足 e*d ≡ 1 mod φ(n)），可通过扩展欧几里得算法实现；
解密：m = pow(c, d, n)（c 是给定的密文，pow 函数高效计算大数模幂）。

三、基础注意事项

大数计算：所有数值都是极大整数，需用支持大整数的语言（如 Python）计算，Python 天然支持任意精度大整数，无需担心溢出；
素数验证：求解出的 p、q 需验证是否为素数（可通过简单的素性测试，如米勒 - 拉宾测试）；
模逆元求解：若 e 和 φ(n) 不互质，说明计算有误（RSA 中 e 需与 φ(n) 互质）。

解题：

根据附件可知需要求出p,q，一看就是需要求公约数的，用到的原理

hint1 = q + qp^3 = (1+p^3)q = q(1+p)(p^2-p+1)
hint2 = qp + qp^2 = q(1+p)p
gcd(hint1,hint2) = q(1+p)
p = hint2 / q(1+p)
q = gift // (p+1)

得到p,q后根据欧拉定理，解题代码如下：

from Crypto.Util.number import *
from gmpy2 import *

c=0x7a7e031f14f6b6c3292d11a41161d2491ce8bcdc67ef1baa9e
e=0x872a335
#q + q*p^3 =1285367317452089980789441829580397855321901891350429414413655782431779727560841427444135440068248152908241981758331600586
#qp + q *p^2 = 1109691832903289208389283296592510864729403914873734836011311325874120780079555500202475594

hint1 = 1285367317452089980789441829580397855321901891350429414413655782431779727560841427444135440068248152908241981758331600586
hint2 = 1109691832903289208389283296592510864729403914873734836011311325874120780079555500202475594

gift = gcd(hint1,hint2)

p = hint2//gift
q = gift // (p+1)
n= p*q
phi = (p-1)*(q-1)

d = invert(e, phi)

flag = pow(c, d, n)
print(long_to_bytes(flag))

Flag

flag{happy_rsa_1}

题目附件：

题目分析：

解题：

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